بازه‌های صعودی و نزولی:

بازه‌های صعودی و نزولی هر تابع در هر بازه‌ای به صورت زیر قابل تشخیص هستند:

صعودی:

تابع در هر بازه‌ای مشتق نامنفی ( $f'\left( x \right) \ge 0$ ) داشته باشد، در آن بازه صعودی است. یعنی:

${x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \le f({x_2})$

یعنی هر عددی بزرگتر از عدد دیگر باشد، مقدار تابع در آن نقطه بزرگتر یا مساوی مقدار تابع در نقطه دوم خواهد بود. این مفهوم در شکل زیر بیان شده است:

ملاحظه می‌کنید که تابع در حالت صعودی (نه اکیداً صعودی) در برخی بازه‌ها می‌تواند ثابت نیز باشد. ولی نباید در هیچ بازه‌ای کاهش یابد (نباید در هیچ بازه‌ای، تابع رو به پایین باشد).

اکیداً صعودی:

همچنین اگر تابع در بازه‌ای، مشتق مثبت ( $f'\left( x \right) > 0$ ) داشته باشد، در آن بازه اکیداً صعودی است. یعنی:

${x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

یعنی هر عددی بزرگتر از عدد دیگر باشد، مقدار تابع در آن نقطه حتماً بزرگتر ( نه حتی مساوی) مقدار تابع در نقطه دوم خواهد بود. این مفهوم در شکل زیر بیان شده است:

در این حالت تابع در هیچ بازه‌ای حتی ثابت هم نباید باشد و فقط باید صعود کند (همواره در حال افزایش باشد).

این آموزش را نیز مطالعه کنید: مشتق زنجیره‌ای (یافتن مشتق یک پارامتر بر حسب پارامتری که مستقیماً بر حسب آن نوشته نشده است)

نزولی:

و به همین ترتیب اگر تابع در بازه‌ای، مشتق نامثبت ( $f'\left( x \right) \le 0$ ) داشته باشد، در آن بازه نزولی است. یعنی:

یعنی هر عددی بزرگتر از عدد دیگر باشد، مقدار تابع در آن نقطه کوچکتر. یا مساوی مقدار تابع در نقطه دوم خواهد بود. این مفهوم در شکل زیر بیان شده است:

ملاحظه می‌کنید که تابع در حالت نزولی (نه اکیداً نزولی) در برخی بازه‌ها می‌تواند ثابت نیز باشد. ولی نباید در هیچ بازه‌ای افزایش یابد (نباید در هیچ بازه‌ای، تابع رو به بالا باشد).

اکیداً نزولی:

و اگر تابع در بازه‌ای، مشتق منفی ( $f'\left( x \right) < 0$ ) داشته باشد، در آن بازه اکیداً نزولی است. یعنی:

${x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})$

یعنی هر عددی بزرگتر از عدد دیگر باشد، مقدار تابع در آن نقطه حتماً کوچکتر. ( نه حتی مساوی) مقدار تابع در نقطه دوم خواهد بود. این مفهوم در شکل زیر بیان شده است:

در این حالت تابع در هیچ بازه‌ای حتی ثابت هم نباید باشد. یعنی فقط باید نزول کند (همواره در حال کاهش باشد).

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-09-07

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.