اکسترمم نسبی و نقطه عطف

اکسترمم نسبی:

اکسترمم یعنی نقطه‌ای که یا ماکزیمم باشد یا مینیمم. در شکل زیر چند اکسترمم مختلف را می‌بینیم:

اکسترمم نسبی

همانطورکه از شکل پیداست، مشتق تابع درنقاط ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی.(نسبی یعنی نسبت به نقاط نزدیک در اطراف خود) برابر صفر است. پس برای یافتن اکسترمم‌های نسبی باید ابتدا   f'\left( x \right) = 0  را حل کنیم. جواب‌های این معادله احتمالاً اکسترمم‌های نسبی تابع هستند.ولی همواره اکسترمم نیستند. یعنی ممکن است مشتق تابع در نقطه‌ای صفر باشد ولی آن نقطه اکسترمم نباشد. مانند شکل زیر:

نقطه عطف

این نوع نقاط را نقاط عطف تابع می‌گوییم. همانطور که در شکل مشخص است.تقعر تابع (  \cup   یا  \cap  )‍ در اطراف نقطه عطف تغییر می‌کند.

اگر مشتق تابع در نقطه‌ای صفر باشد. و تقعر در اطراف آن نقطه تغییر نکند، آن نقطه یک اکسترمم نسبی است. ولی اگر نقطه پیوسته‌ای جزو نقاط بحرانی (مشتق صفر یا بی‌نهایت) باشد.اما جهت تقعر در اطراف آن تغییر کند، آن نقطه یک نقطه عطف خواهد بود.


این آموزش را نیز مطالعه کنید: قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)


نقطه عطف:

نقطه‌ای پیوسته روی تابع که دارای خط مماس بر نمودار منحصر بفرد بوده.و جهت تقعر در مجاورت این نقطه عوض شود.

نقطه عطف

وقتی جهت تقعر تابعی در یک بازه رو به بالا است  f''\left( x \right)  مثبت است. و به همین ترتیب اگر جهت تقعر تابعی در یک بازه رو به پایین است   f''\left( x \right)  منفی است.

نقطه عطف

در اکثر مواقع در نقطه عطف   f''\left( x \right) = 0    است. ولی برخی مواقع نیز   f''\left( x \right) = \infty  می‌باشد یعنی برای یافتن نقطه عطف باید صورت و مخرج  f''\left( x \right)  را مساوی صفر قرار دهیم. و با تعیین علامت  f''\left( x \right)  ، نقاطی که در اطراف آنها علامت   f''\left( x \right)  عوض می‌شود را به عنوان نقاط عطف معرفی می‌کنیم.

مثال: نقاط عطف تابع   f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 3x + 7  را بیابید.

حل: ابتدا   f''\left( x \right)  را یافته و سپس آن را تعیین علامت می‌کنیم:

\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 3x + 7 \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} - 18{x^2} + 24x - 3\\ \Rightarrow f''\left( x \right) = 12{x^2} - 36x + 24 = 0 \Rightarrow 12\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}

نقطه عطف

 f''\left( x \right)  در اطراف  x = 1  و  x = 2  تغییر علامت داده است. پس این دو نقطه،.نقاط عطف تابع  f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 3x + 7  می‌باشند.


آموزش تصویری این مبحث:


جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

مشتق و کاربرد آن

اکسترمماکسترمم نسبیماکزیممماکزیمم نسبیمینیمممینیمم نسبینقاط عطفنقطه عطف

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

13 دیدگاه

  • خیلییی ممنون. خیلی عالی توضیح دادین. مرسی از سایت خوبتون
    مرسی ازین که انقد خوب توضیح میدین.

    • سلام
      ممنون از انرژی خوبی که میدید.
      آرزوی موفقیت و شادکامی رو براتون دارم.

  • سلام ممنون از توضیحتون
    یه سوال داشتم
    چه موقع برای رسم نمودار بدست اوردن مشتق اول کفایت میکنه و لازم به مشتق دوم نیس وچه موقع لازم است
    بازم ممنون

    • سلام
      محاسبه مشتق دوم و تعیین علامت آن به رسم نمودار کمک می‌کنه و نمیشه گفت بعضی وقتها لازم نیست محاسبه بشه. هر چند بدون محاسبه مشتق دوم هم میشه نمودار رو تا حدود زیادی دقیق رسم کرد ولی کاملا دقیق نخواهد بود یا رسم کردن نمودار سختتر میشه.

  • سلام و خسته نباشید
    فرمول یه نمودار و چطوری میتونیم بدست بیاریم
    این نمودار میتونه از هر درجه ای باشه ،
    اگه نرم افزارم میشناسید که اینکارو انجام بده معرفی کنید ممنون

    • سلام
      ابتدا به کمک نرم‌افزار Plot Digitizer نقاط کافی از روی نمودار استخراج کنید سپس به کمک هر نرم‌افزار تشکیل دهنده فرمول از اعداد (مانند Excel‌ یا Mathlab) فرمول تابع رو بدست بیاورید.
      موفق و پیروز باشید

  • سلام
    ببخشید یه سوال داشتم
    چه زمانی تقعر تابع در یک نقطه عوض میشه ولی اون نقطه نقطه عطف نیست؟

    • سلام
      اگه تابع در آن نقطه پیوسته نباشه یا مماس بر منحنی زاویه دار باشه نقطه عطف نیست.

  • سلام میشه نقاط اکسترمم نسبی بر روی نمودار های مختلف رو نشون بدین؟

    • سلام
      در عکس اول نوشته بالا نقاط اکسترمم نسبی مختلفی نشان داده شده است.

  • با سلام و احترام
    توابع پارامتری رو می خواهیم نقطه عطف پیدا کنیم ولی به مشکل برخوردیم و استادی هم نداریم ممکن است کمک کنید؟
    x=t^2
    y=3t+t^3
    بین نقاط t برابر با صفرو 1 و منفی 1 چرا اخه t برابر صفر جواب نیست؟
    این تابع رو تعمیم ازمون مشتق دوم تا بینهایت هم برویم جواب ندارد می دهد
    از طرفی ازمون مشتق اول هم که میگن برای توابع پارامتری ممکنه خطا بدهد

    • سلام
      نقطه t=0 نقطه عطف نیست زیرا تقعر تابع در آن عوض نمیشود و تنها نقاط عطف مثبت یک و منفی یک هستند.
      برای ترسیم شکل میتوانید از ابزار زیر استفاده کنید:
      https://www.desmos.com/calculator/ksjcpazwa9

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *