اکسترمم نسبی:
اکسترمم یعنی نقطه‌ای که یا ماکزیمم باشد یا مینیمم. در شکل زیر چند اکسترمم مختلف را می‌بینیم:
همانطورکه از شکل پیداست، مشتق تابع درنقاط ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی.(نسبی یعنی نسبت به نقاط نزدیک در اطراف خود) برابر صفر است. پس برای یافتن اکسترمم‌های نسبی باید ابتدا 
را حل کنیم. جواب‌های این معادله احتمالاً اکسترمم‌های نسبی تابع هستند.ولی همواره اکسترمم نیستند. یعنی ممکن است مشتق تابع در نقطه‌ای صفر باشد ولی آن نقطه اکسترمم نباشد. مانند شکل زیر:
این نوع نقاط را نقاط عطف تابع می‌گوییم. همانطور که در شکل مشخص است.تقعر تابع ( 
یا 
) در اطراف نقطه عطف تغییر می‌کند.
اگر مشتق تابع در نقطه‌ای صفر باشد. و تقعر در اطراف آن نقطه تغییر نکند، آن نقطه یک اکسترمم نسبی است. ولی اگر نقطه پیوسته‌ای جزو نقاط بحرانی (مشتق صفر یا بینهایت) باشد.اما جهت تقعر در اطراف آن تغییر کند، آن نقطه یک نقطه عطف خواهد بود.
این آموزش را نیز مطالعه کنید: قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)
نقطه عطف:
نقطه‌ای پیوسته روی تابع که دارای خط مماس بر نمودار منحصر بفرد بوده.و جهت تقعر در مجاورت این نقطه عوض شود.
وقتی جهت تقعر تابعی در یک بازه رو به بالا است 
مثبت است. و به همین ترتیب اگر جهت تقعر تابعی در یک بازه رو به پایین است منفی است.
در اکثر مواقع در نقطه عطف 
است. ولی برخی مواقع نیز 
می‌باشد یعنی برای یافتن نقطه عطف باید صورت و مخرج را مساوی صفر قرار دهیم. و با تعیین علامت ، نقاطی که در اطراف آنها علامت عوض می‌شود را به عنوان نقاط عطف معرفی می‌کنیم.
مثال: نقاط عطف تابع 
را بیابید.
حل: ابتدا را یافته و سپس آن را تعیین علامت می‌کنیم:
در اطراف 
و 
تغییر علامت داده است. پس این دو نقطه،.نقاط عطف تابع می‌باشند.
آموزش تصویری این مبحث:
جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
){kind=link}
13 ديدگاه
هانیه
خیلییی ممنون. خیلی عالی توضیح دادین. مرسی از سایت خوبتون
مرسی ازین که انقد خوب توضیح میدین.
امین یارمحمدی
سلام
ممنون از انرژی خوبی که میدید.
آرزوی موفقیت و شادکامی رو براتون دارم.
پارسا
سلام ممنون عالیه؛))
Ario
سلام ممنون از توضیحتون
یه سوال داشتم
چه موقع برای رسم نمودار بدست اوردن مشتق اول کفایت میکنه و لازم به مشتق دوم نیس وچه موقع لازم است
بازم ممنون
امین یارمحمدی
سلام
محاسبه مشتق دوم و تعیین علامت آن به رسم نمودار کمک میکنه و نمیشه گفت بعضی وقتها لازم نیست محاسبه بشه. هر چند بدون محاسبه مشتق دوم هم میشه نمودار رو تا حدود زیادی دقیق رسم کرد ولی کاملا دقیق نخواهد بود یا رسم کردن نمودار سختتر میشه.
آریان
سلام و خسته نباشید
فرمول یه نمودار و چطوری میتونیم بدست بیاریم
این نمودار میتونه از هر درجه ای باشه ،
اگه نرم افزارم میشناسید که اینکارو انجام بده معرفی کنید ممنون
امین یارمحمدی
سلام
ابتدا به کمک نرم‌افزار Plot Digitizer نقاط کافی از روی نمودار استخراج کنید سپس به کمک هر نرم‌افزار تشکیل دهنده فرمول از اعداد (مانند Excel یا Mathlab) فرمول تابع رو بدست بیاورید.
موفق و پیروز باشید
FATEMEH
سلام
ببخشید یه سوال داشتم
چه زمانی تقعر تابع در یک نقطه عوض میشه ولی اون نقطه نقطه عطف نیست؟
امین یارمحمدی
سلام
اگه تابع در آن نقطه پیوسته نباشه یا مماس بر منحنی زاویه دار باشه نقطه عطف نیست.
نیلوفر مهدیزاده
سلام میشه نقاط اکسترمم نسبی بر روی نمودار های مختلف رو نشون بدین؟
امین یارمحمدی
سلام
در عکس اول نوشته بالا نقاط اکسترمم نسبی مختلفی نشان داده شده است.
سامان
با سلام و احترام
توابع پارامتری رو می خواهیم نقطه عطف پیدا کنیم ولی به مشکل برخوردیم و استادی هم نداریم ممکن است کمک کنید؟
x=t^2
y=3t+t^3
بین نقاط t برابر با صفرو ۱ و منفی ۱ چرا اخه t برابر صفر جواب نیست؟
این تابع رو تعمیم ازمون مشتق دوم تا بینهایت هم برویم جواب ندارد می دهد
از طرفی ازمون مشتق اول هم که میگن برای توابع پارامتری ممکنه خطا بدهد
امین یارمحمدی
سلام
نقطه t=0 نقطه عطف نیست زیرا تقعر تابع در آن عوض نمیشود و تنها نقاط عطف مثبت یک و منفی یک هستند.
برای ترسیم شکل میتوانید از ابزار زیر استفاده کنید:
https://www.desmos.com/calculator/ksjcpazwa9