اکسترمم نسبی و نقطه عطف (با مثال + فیلم + دانلود pdf)

اکسترمم نسبی:

اکسترمم یعنی نقطه‌ای که یا ماکزیمم باشد یا مینیمم. در شکل زیر چند اکسترمم مختلف را می‌بینیم:

همانطورکه از شکل پیداست، مشتق تابع درنقاط ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی.(نسبی یعنی نسبت به نقاط نزدیک در اطراف خود) برابر صفر است. پس برای یافتن اکسترمم‌های نسبی باید ابتدا $f'\left( x \right) = 0$ را حل کنیم. جواب‌های این معادله احتمالاً اکسترمم‌های نسبی تابع هستند.ولی همواره اکسترمم نیستند. یعنی ممکن است مشتق تابع در نقطه‌ای صفر باشد ولی آن نقطه اکسترمم نباشد. مانند شکل زیر:

این نوع نقاط را نقاط عطف تابع می‌گوییم. همانطور که در شکل مشخص است.تقعر تابع ( $\cup$ یا $\cap$ )‍ در اطراف نقطه عطف تغییر می‌کند.

اگر مشتق تابع در نقطه‌ای صفر باشد. و تقعر در اطراف آن نقطه تغییر نکند، آن نقطه یک اکسترمم نسبی است. ولی اگر نقطه پیوسته‌ای جزو نقاط بحرانی (مشتق صفر یا بی‌نهایت) باشد.اما جهت تقعر در اطراف آن تغییر کند، آن نقطه یک نقطه عطف خواهد بود.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو (اثبات وجود ریشه در یک بازه)

نقطه عطف:

نقطه‌ای پیوسته روی تابع که دارای خط مماس بر نمودار منحصر بفرد بوده.و جهت تقعر در مجاورت این نقطه عوض شود.

وقتی جهت تقعر تابعی در یک بازه رو به بالا است $f''\left( x \right)$ مثبت است. و به همین ترتیب اگر جهت تقعر تابعی در یک بازه رو به پایین است $f''\left( x \right)$ منفی است.

در اکثر مواقع در نقطه عطف $f''\left( x \right) = 0$ است. ولی برخی مواقع نیز $f''\left( x \right) = \infty$ می‌باشد یعنی برای یافتن نقطه عطف باید صورت و مخرج $f''\left( x \right)$ را مساوی صفر قرار دهیم. و با تعیین علامت $f''\left( x \right)$ ، نقاطی که در اطراف آنها علامت $f''\left( x \right)$ عوض می‌شود را به عنوان نقاط عطف معرفی می‌کنیم.

مثال: نقاط عطف تابع $f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 3x + 7$ را بیابید.

حل: ابتدا $f''\left( x \right)$ را یافته و سپس آن را تعیین علامت می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 3x + 7 \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} - 18{x^2} + 24x - 3\\ \Rightarrow f''\left( x \right) = 12{x^2} - 36x + 24 = 0 \Rightarrow 12\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}$

$f''\left( x \right)$ در اطراف $x = 1$ و $x = 2$ تغییر علامت داده است. پس این دو نقطه،.نقاط عطف تابع $f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 3x + 7$ می‌باشند.

آموزش تصویری این مبحث:

جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:

پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه (۵ فصل + ضمیمه مثلثات)
نمره 4.75 از 5
۱۳۹,۰۰۰ تومان افزودن به سبد خرید

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-09-14

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.