اکسترمم‌های مطلق (یافتن ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق در یک بازه)

تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه مشتق و کاربرد آن اکسترمم‌های مطلق (یافتن ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق در یک بازه)

تعیین اکسترمم‌های مطلق:

اکسترمم‌های مطلق در یک بازه یعنی مقادیری از تابع که از دیگر مقادیر تابع در آن بازه بیشتر (یعنی ماکزیمم مطلق) یا کمتر (یعنی مینیمم مطلق) باشند. در شکل زیر این موضوع نمایش داده شده است:

ملاحظه می‌کنید که اکسترمم مطلق می‌تواند هم در اکسترمم نسبی اتفاق بیفتد.و هم در ابتدا و انتهای بازه،. پس برای یافتن اکسترمم‌های مطلق یک تابع در یک بازه ابتدا نقاط بحرانی تابع ( $f'\left( x \right) = 0$ یا مخرج $f'\left( x \right)$ مساوی صفر ) را یافته.و مقدار تابع در نقاط بحرانی و نقاط ابتدا و انتهای بازه یافته.و با یکدیگر مقایسه می‌کنیم. بیشترین مقدار، ماکزیمم مطلق و کمترین مقدار،. مینیمم مطلق تابع در آن بازه است.

همان‌گونه که از شکل بالا مشخص است، اکسترمم‌های نسبی یک تابع می‌توانند مطلق نیز باشند یا نباشند.و.اصولاً اکسترمم‌های نسبی را نسبت به یک همسایگی کوچک از تابع در اطراف همان نقطه می‌سنجند ولی اکسترمم‌های مطلق نسبت به کل بازه سنجیده می‌شوند. یعنی ماکزیمم مطلق باید بزرگتر یا مساوی مقدار تابع در تمام نقاط بازه باشد ولی ماکزیمم نسبی.کافیست بزرگتر یا مساوی مقدار تابع در یک همسایگی هر چند کوچک در اطراف خود باشد. به همین ترتیب مینیمم مطلق باید کوچکتر یا مساوی مقدار تابع در تمام نقاط بازه باشد.ولی مینیمم نسبی کافیست کوچکتر یا مساوی مقدار تابع در یک همسایگی هر چند کوچک در اطراف خود باشد.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: مشتق مراتب بالاتر

مثال: اکسترمم‌های مطلق تابع $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 2$ را بر بازه $\left[ { - 4,4} \right]$ بیابید.

حل: گفتیم که اکسترمم‌های مطلق تابع یا در نقاط بحرانی هستند.یا در نقاط ابتدا و انتهای بازه. ابتدا نقاط بحرانی تابع را می‌یابیم:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9 = 3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}$

سپس مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط ابتدا و انتهای بازه یافته.و مقادیر به دست آمده را با یکدیگر مقایسه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3{\left( { - 1} \right)^2} - 9\left( { - 1} \right) - 2 = - 1 - 3 + 9 - 2 = 3\\ f\left( 3 \right) = {\left( 3 \right)^3} - 3{\left( 3 \right)^2} - 9\left( 3 \right) - 2 = 27 - 27 - 27 - 2 = - 29\\ f\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^3} - 3{\left( { - 4} \right)^2} - 9\left( { - 4} \right) - 2 = - 64 - 48 + 36 - 2 = - 78\\ f\left( 4 \right) = {\left( 4 \right)^3} - 3{\left( 4 \right)^2} - 9\left( 4 \right) - 2 = 64 - 48 - 36 - 2 = - 22 \end{array}$

پس ماکزیمم مطلق در این بازه $3$ و مینیمم مطلق $- 78$ است.

تمرین: اکسترمم‌های مطلق تابع $f\left( x \right) = 2{x^2} - 8x + 4$ را بر بازه $\left[ {0,3} \right]$ بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-09-28

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.