انتگرال‌های ناسره

انتگرال ناسره


انتگرال ناسره (غیرعادی) در دو حالت زیر به وجود می‌آید:

الف) حداقل یکی از حدود انتگرال به سمت بی‌نهایت میل کند. (\int_a^{ + \infty } {f\left( x \right)dx} یا \int_{ - \infty }^b {f\left( x \right)dx} یا \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( x \right)dx} )

ب) تابع داخل انتگرال در نقطه‌ای از بازه انتگرال‌گیری، تعریف نشده باشد. مثلاً ریشه مخرج بین دو کران بالا و پایین انتگرال باشد مانند: \int_0^2 {\frac{{dx}}{{x - 1}}} یا مثلاً یکی از کران‌های انتگرال صفر باشد و انتگرال شامل لگاریتم باشد. مانند: \int_0^1 {\frac{{dx}}{{x.Lnx}}}


حالت الف:

در این حالت ابتدا به جای کران‌های بی‌نهایت از حد یک پارامتر استفاده می‌کنیم. مثلاً:


    \[\begin{array}{l}\int_{ - \infty }^2 {f\left( x \right)dx = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } } \int_a^2 {f\left( x \right)dx} \\\\\int_5^{ + \infty } {f\left( x \right)dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } } \int_5^b {f\left( x \right)dx} \\\\\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( x \right)dx = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } \int_a^7 {f\left( x \right)dx} + \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } } \int_7^b {f\left( x \right)dx} \end{array}\]

توجه:‌ در مثال سوم بالا که هر دو کران انتگرال بی‌نهایت هستند، هر عددی در بازه \left( { - \infty , + \infty } \right) قابل قبول است که ما به عنوان مثال عدد 7 را گذاشته‌ایم.
سپس حاصل انتگرال را محاسبه کرده و با یافتن حد آن در مثبت یا منفی بی‌نهایت، جواب انتگرال را می‌یابیم.


مثال: حاصل انتگرال \int_{ - \infty }^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} را بیابید.

حل:

    \[\begin{array}{l}\int_{ - \infty }^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } \int_a^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } \left. {\frac{1}{2}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right|_a^2 = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( 1 \right) - \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } \left[ {\frac{1}{2}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( {\frac{a}{2}} \right)} \right]\\\\= \frac{\pi }{8} - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{3\pi }}{8}\end{array}\]


مثال: حاصل انتگرال \int_e^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{xL{n^2}x}}} را بیابید.
حل:

    \[\begin{array}{l}\int_e^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{xL{n^2}x}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_e^b {\frac{{dx}}{{xL{n^2}x}}\,\,\,} \mathop = \limits_{dt = \frac{{dx}}{x}}^{t = Lnx} \,\,\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \,\int_1^b {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} \\\\= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_1^b {{t^{ - 2}}dt = } \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\left. {\frac{{{t^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right|_1^b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{b \to \infty } \left( { - \frac{1}{b}} \right) - \left( { - \frac{1}{1}} \right)\\\\= - \frac{1}{\infty } + 1 = 0 + 1 = 1\end{array}\]

توجه: در انتگرال ناسره بالا هنگام تغییر متغیر، کران‌های انتگرال نیز با توجه به تغییر متغیر اعمال شده به انتگرال ناسره از \left( {e, + \infty } \right) به \left( {1, + \infty } \right) تغییر کردند.


مثال: حاصل انتگرال \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 5}}} را بیابید.


حل:

    \[\begin{array}{l}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 5}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } \int_a^{ - 2} {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 5}}} \mathop { + \,\,\,\,\,\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 2}^b {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 5}} = } \\\\\mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } \left. {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (x + 2)} \right|_a^{ - 2} + \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left. {{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (x + 2)} \right|_{ - 2}^b = \\\\= \left( {0 - ( - \frac{\pi }{2})} \right) + \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) = \pi \end{array}\]

نکته۱: برای محاسبه انتگرال تابع \frac{1}{{{x^2} + 4x + 5}} ، آموزش انتگرال‌گیری به روش تجزیه کسر را مطالعه کنید.


نکته۲: ‌همانطور که قبلاً توضیح دادیم زمانی که هر دو کران انتگرال بی‌نهایت هستند، هر عددی در بازه \left( { - \infty , + \infty } \right) قابل قبول است که ما در این مثال عدد - 2 را گذاشته‌ایم زیرا محاسبه آن در جواب انتگرال بالا ساده‌تر است ({\mathop{\rm Arctan}\nolimits} \left( 0 \right) = 0).



تمرین حالت الف: حاصل انتگرال‌های ناسره زیر را محاسبه کنید.


1. \int_{ - \infty }^{ - 2} {\frac{{2dx}}{{{x^2}}}}


2. \int_1^{ + \infty } {{e^{ - 2x}}dx}


3. \int_{ - \infty }^2 {\frac{{3dx}}{{{x^2} + 1}}}


4. \int_{ - \infty }^0 {\frac{{dx}}{{3 - 4x}}}


حالت ب:

تابع زیر انتگرال در نقطه‌ای از بازه انتگرال‌گیری، تعریف نشده باشد. در این حالت در نقاطی که تابع زیر انتگرال بی‌نهایت (تعریف نشده) باشند را مشابه حالت الف به پارامتر تبدیل کرده و با حد به آن‌ها نزدیک می‌شویم. دقت کنید که حد حتماً باید یک‌طرفه (یا حد راست یا حد چپ) باشد و از سمت کران دیگر انتگرال به آن عدد نزدیک شود (در مثال‌های زیر می‌توانید این موضوع را ببینید). سپس با محاسبه انتگرال و استفاده از حد، جواب را می‌‌یابیم.


مثال: حاصل انتگرال \int_5^8 {\frac{{2dx}}{{\sqrt[3]{{x - 5}}}}} را بیابید.


حل: تابع در ابتدای بازه تعریف نشده است پس ابتدای بازه را پارامتری می‌نویسیم و حد را به سمت {5^ + } میل می‌دهیم (از سمتی که به8 نزدیکتر است).

    \[\begin{array}{l}\int_5^8 {\frac{{2dx}}{{\sqrt[3]{{x - 5}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to {5^ + }} \int_a^8 {\frac{{2dx}}{{\sqrt[3]{{x - 5}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to {5^ + }} \int_a^8 {\frac{{2dx}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}} \\\\\mathop {\mathop { = \lim }\limits_{a \to {5^ + }} \int_a^8 {2{{\left( {x - 5} \right)}^{ - \frac{1}{3}}}dx = } \lim }\limits_{a \to {5^ + }} \left. {2\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}}} \right|_a^8\\\\= 3\left( {{3^{\frac{2}{3}}} - {0^{\frac{2}{3}}}} \right) = {3^{\frac{5}{3}}}\end{array}\]


مثال: حاصل انتگرال \int_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\frac{{dx}}{{\sin x}}} را بیابید.


حل: تابع در انتهای بازه تعریف نشده است پس انتهای بازه را پارامتری می‌نویسیم و حد را به سمت {0^ - } میل می‌دهیم (از سمتی که به - \frac{\pi }{2} نزدیکتر است).

    \[\begin{array}{l}\int_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {0^ - }} \int_{ - \frac{\pi }{2}}^b {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \\\\\left. {\mathop {\lim }\limits_{b \to {0^ - }} \left( { - Ln\left| {\csc x + \cot x} \right|} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^b = \infty \end{array}\]

با توجه به اینکه جواب انتگرال بی‌نهایت شد، نتیجه می‌گیریم این انتگرال ناسره واگراست.


مثال: حاصل انتگرال \int_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x} }}} را محاسبه کنید.


حل: تابع در انتهای بازه تعریف نشده است پس انتهای بازه را پارامتری می‌نویسیم و حد را به سمت{1^ - } میل می‌دهیم (از سمتی که به 0 نزدیکتر است).

    \[\begin{array}{l}\int_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x} }}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \int_0^b {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x} }}} \\\\= - 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \left( {\left. {\sqrt {1 - x} } \right|_0^b} \right) = 2\end{array}\]


نکته: در انتگرال ناسره اگر نقطه مورد نظر در ابتدا یا انتها نباشد بهتر است فقط از یک پارامتر (مثلاً a) استفاده کنیم. در مثال زیر این نکته استفاده شده است.

مثال: حاصل انتگرال \int_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} را بیابید.


حل: تابع در وسط بازه یعنی x = 0 تعریف نشده است پس انتگرال را به صورت حاصل جمع دو انتگرال نوشته و این نقطه را پارامتری نوشته و با حد به ترتیب از چپ و راست به آن نزدیک می‌شویم.

    \[\begin{array}{l}\int_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} \left( {\int_{ - 1}^{ - a} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} + \int_a^1 {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} } \right) = \\\\\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} \left( { - \left. {\frac{1}{x}} \right|_{ - 1}^a} \right) + \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} \left( { - \left. {\frac{1}{x}} \right|_a^1} \right) = \\\\\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} \left( { - \frac{1}{a}} \right) - 1 - 1 + \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} \left( { - \frac{1}{a}} \right) = \infty \end{array}\]


تمرین حالت ب: حاصل انتگرال‌های ناسره زیر را محاسبه کنید.


1. \int_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}}


2. \int_0^1 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}


3. \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}}


4. \int_0^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{2 - x}}}}}


آموزش تصویری این مبحث:



جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:


برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

انتگرال و کاربرد آن

انتگرالانتگرال معینریاضی ۱ریاضی عمومی ۱کاربرد انتگرالکاربرد انتگرال معین

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *