تلفن:09123872834ایمیل:info[at]masirefarda.com

وبلاگ ریاضی عمومی ۱ دانشگاه انتگرال و کاربرد آن انتگرال توابع گنگ (توابع رادیکالی با فرجه‌های متفاوت)

انتگرال توابع گنگ (غیرگویا):

برای محاسبه انتگرال توابع گنگ ( توابع شامل رادیکال) با فرجه‌های دلخواه (مانند $\sqrt[{{n_1}}]{{{x^{{m_1}}}}}$ ، $\sqrt[{{n_2}}]{{{x^{{m_2}}}}}$ و…) از تغییر متغیر $x = {z^r}$ استفاده می‌کنیم که $r$ کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م.) فرجه‌های رادیکال‌هاست (می‌توانید از حاصلضرب همه فرجه‌ها نیز استفاده کنید ولی محاسبات بعدی انتگرال طولانی‌تر می‌شود).

مثال: حاصل انتگرال $\int {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[3]{x} + 1}}dx}$ را بیابید.

حل: فرجه‌های رادیکال‌ها ۲ و ۳ است که ک.م.م. این دو برابر است با ۶:

$x = {z^6} \Rightarrow dx = 6{z^5}dz$

$\begin{array}{l} \int {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[3]{x} + 1}}dx} = \int {\frac{{\sqrt {{z^6}} }}{{\sqrt[3]{{{z^6}}} + 1}}6{z^5}dz} \\ \\ = 6\int {\frac{{{z^3}}}{{{z^2} + 1}}{z^5}dz} = 6\int {\frac{{{z^8}}}{{{z^2} + 1}}dz} \end{array}$

برای محاسبه این انتگرال از روش تجزیه کسر استفاده می‌کنیم. درجه صورت از درجه مخرج بیشتر است پس صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم. در صورتی‌که این روش را از یاد برده‌اید بهتر است «آموزش روش تجزیه کسر برای حل انتگرال» را در سایت مسیرفردا مجدداً مرور کنید تا انتگرال توابع گنگ را بتوانید حل کنید.

$\begin{array}{l} 6\int {\frac{{{z^8}}}{{{z^2} + 1}}dz} = 6\int {\left( {{z^6} - {z^4} + {z^2} - 1 + \frac{1}{{{z^2} + 1}}} \right)dz} \\ \\ = 6\left( {\frac{{{z^7}}}{7} - \frac{{{z^5}}}{5} + \frac{{{z^3}}}{3} - z + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} z} \right) + c\\ \\ \mathop = \limits^{z = {x^{\frac{1}{6}}}} 6\left( {\frac{{{x^{\frac{7}{6}}}}}{7} - \frac{{{x^{\frac{5}{6}}}}}{5} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{3} - {x^{\frac{1}{6}}} + {\mathop{\rm Arctan}\nolimits} {x^{\frac{1}{6}}}} \right) + c \end{array}$

این آموزش را نیز مطالعه کنید: روش جزء به جزء برای حل انتگرال‌های معین و نامعین

خلاصه:

ملاحظه می‌کنید که این روش در واقع یک نوع تغییر متغیر است که قبلاً در آموزش‌های متنی سایت و آموزش‌های تصویری به آموزش آن پرداخته‌ایم. همچنین شما برای حل این نوع انتگرال‌ها باید حتماً به انتگرال‌گیری به روش تجزیه کسر کاملاً تسلط داشته باشید زیرا در مرحله پایانی این روش از تجزیه کسر استفاده می‌کنیم.

تمرین: حاصل انتگرال توابع گنگ زیر را بیابید.

$\int {\frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt[4]{{{x^3}}}}}dx}$
$\int {\frac{{2 + \sqrt[4]{x}}}{{\sqrt[6]{{{x^5}}}}}dx}$
$\int {\frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[4]{x}}}{{\sqrt[6]{x} - \sqrt x }}dx}$

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-12-22

انتگرال و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.