عدد مختلط

اعداد مختلط:

برای درک اعداد مختلط ابتدا با مفهوم رادیکال آشنا می‌شویم که همه ما از دبیرستان آنرا بلدیم. در واقع باید دنبال عددی بگردیم که با ضرب کردن در خودش به عدد مورد نظر برسه:

    \[\sqrt {49} = 7\]

    \[\sqrt 4 = 2\]

 

حالا اگر عدد زیر رادیکال منفی باشد قبلا به ما یاد دادن جواب ندارد یا مثلا بی‌معنی هست ولی میخواهیم با یک حرکت ساده جواب رادیکال یک عدد منفی رو پیدا کنیم:

\sqrt { - 4} = \sqrt {4 \times ( - 1)} = \sqrt 4 \times \sqrt { - 1}

کافیه \sqrt { - 1} رو یک چیزی فرض کنیم، که در ریاضیاتِ مربوط به اعداد مختلط قرارداد کردن که i = \sqrt { - 1} پس داریم:

\sqrt { - 4}  = \sqrt {4 \times ( - 1)}  = \sqrt 4  \times \sqrt { - 1}  = 2i

و به همین ترتیب رادیکال هر عدد منفی به راحتی محاسبه میشه:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{l}
\sqrt { - 49} = \sqrt {49 \times ( - 1)} = \sqrt {49} \times \sqrt { - 1} = 7i\\
\sqrt { - 9} = 3i\\
\sqrt { - 25} = 5i\\
\sqrt { - 5} = \sqrt 5 i
\end{arrayy}

*** Error message:
\begin{array} on input line 8 ended by \end{arrayy}.
leading text: \end{arrayy}

با توجه به اینکه   i = \sqrt { - 1}   عدد حقیقی نیست و ما در واقع فرض کردیم وجود داره پس جواب رادیکال هر عدد منفی، یک عدد موهومی (فرضی یا الکی!) هست. پس هر جا عددی مثل ai  (مثلا 4i)  دیدید بدونید که یک عدد موهومی هست.

حالا اگه یک عدد حقیقی  (مثلاً 2)  رو با یک عدد موهومی  (مثلا 3i)  جمع کنیم در واقع اعداد حقیقی رو با اعداد موهومی مخلوط کردیم و یک عددی مثل  2 + 3i   تشکیل میشه به همین خاطر به این نوع اعداد میگن اعداد مختلط.

یه نکته‌ای که باید یادتون باشه اینه که:

    \[ \boxed{i^2 = -1} \]

هر عدد مختلط به فرم کلی z = x + iy نوشته میشه که قسمت حقیقی اون  x  و قسمت موهومیش  y  هست و اینجوری نمایششون میدن:

\begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = x\\ {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = y \end{array}

مزدوج هر عدد مختلط با قرینه کردن قسمت موهومی آن عدد یعنی  y   بدست میاد و با یک خط تیره در بالای عدد مختلط نمایش داده می‌شود یعنی:

    \[\bar z = x - iy\]

به عنوان مثال:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{l}
a = 2 + 4i \Rightarrow \bar a = 2 - 4i\\
b = 5 - 3i \Rightarrow \overline b = 5 + 3i\\
c = - 1 - 2i \Rightarrow \overline c = - 1 + 2i
\end{arrayy}

*** Error message:
\begin{array} on input line 8 ended by \end{arrayy}.
leading text: \end{arrayy}

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید 

اعداد و توابع مختلط

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.

8 دیدگاه

  • دمتون گرم! خیلی خوب مفهوم میرسونید سپاس فراوان.
    استاد دانشگاه ما هیچی بلد نیست به گرد پای شما هم نمیرسه.

  • عالی….
    بنده هنرآموز هنرستان فنی هستم

    مبحث اعداد مختلط خیلی به کارم اومد.
    ممنون

  • سلام ممنونم بابت راهنمایی فقط یه سوال ؛ نوشتین رادیکال چهار آی برابر با چهار آی میشه !
    خواستم بدونم مگه برابر با دو آی نمیشه !؟

  • و ببخشید یه سوال دیگه هم داشتم اینکه جمع یه عدد مثلا دو به علاوه یا منهای دو آی جوابش برابر با خودش میشه یا امکان جمع و تفریق اعداد درونش وجود داره ! با تشکر از شما

    • اعداد حقیقی با اعداد موهومی جمع نمی‌شوند زیرا از یک جنس نیستند و به صورت مختلط نوشته می‌شوند. پس:

      (2)+(2i ) =(2+ 2i)

      (2)-(2i ) =(2-2i)

  • این بخش از متن که اعداد موهومی الکی یافرضی هستن از ریشه غلطه و نام گذاری اونها به این شکل دلیل تاریخی داره و به این معنی نیست که معنی لغوی کلمه بیانگر مفهوم اصلیه.
    اعداد موهومی به اندازه دیگر اعداد واقعی هستند.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *