آزمون اول مشتق و آزمون دوم مشتق (تشخیص نوع اکسترمم به کمک کاربرد مشتق)

آزمون اول مشتق:

برای یافتن اکسترمم‌های تابع به کمک آزمون اول مشتق، اگر مشتق تابع قبل از ریشه‌های $f'\left( x \right)$ ، منفی و بعد از آن مثبت باشد آن نقطه مینیمم (min) و اگر مشتق تابع قبل از ریشه‌های $f'\left( x \right)$ ، مثبت و بعد از آن منفی باشد آن نقطه ماکزیمم (max) خواهد بود. شکل زیر نحوه تشخیص نوع اکسترمم به کمک آزمون اول مشتق را نشان می‌دهد:

پس برای یافتن اکسترمم‌های تابع $f\left( x \right)$ کافیست ابتدا ریشه‌های $f'\left( x \right) = 0$ را یافته سپس $f'\left( x \right)$ را تعیین علامت کنیم. جدول زیر برای تشخیص سریع‌تر نوع اکسترمم (max یا min) به کمک آزمون اول مشتق می‌تواند کمک کند:

نکته:

اگر $f'\left( x \right)$ در اطراف نقطه بحرانی (نقطه‌ای که مشتق آن صفر است یا مشتق وجود ندارد) تغییر علامت ندهد، آن نقطه اکسترمم نیست مانند نقاط عطف که قبلاً نشان دادیم.

مثال: نقاط اکسترمم و نوع آنها را برای تابع $f\left( x \right) = 2{x^3} + 15{x^2} + 36x - 11$ بیابید.

حل: ابتدا از تابع مشتق گرفته و آن را مساوی صفر قرار می‌دهیم. سپس ریشه‌های بدست آمده را تعیین علامت می‌کنیم تا نوع نقاط اکسترمم را بیابیم:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = 2{x^3} + 15{x^2} + 36x - 11 \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} + 30x + 36 = 6\left( {{x^2} + 5x + 6} \right)\\ f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - 3 \end{array} \right. \end{array}$

پس $x = - 3$ یک نقطه ماکزیمم و $x = - 2$ یک نقطه مینیمم برای تابع $f\left( x \right)$ می‌باشند.

تمرین: نقاط اکسترمم و نوع آنها را برای تابع $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 4$ به کمک آزمون اول مشتق بیابید.

این آموزش را نیز مطالعه کنید: حد چپ و راست در توابع حقیقی و محاسبه آنها

آزمون دوم مشتق:

همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است،.در نقاط مینیمم ، تقعر رو به بالا ( $f''\left( x \right) > 0$ ) و در نقاط ماکزیمم، تقعر رو به پایین ( $f''\left( x \right) < 0$ ) می‌باشد:

پس آزمون دوم مشتق به صورت خلاصه این‌طور بیان می‌شود که در نقاط بحرانی:

$f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f''\left( x \right) < 0 \to \max \\ f''\left( x \right) > 0 \to \min \\ f''\left( x \right) = 0 \to \times {\rm{ }} \end{array} \right.$

یعنی در نقاطی که مشتق اول تابع صفر باشد، اگر مشتق دوم منفی باشد آن نقطه ماکزیمم نسبی و اگر مشتق دوم مثبت باشد آن نقطه مینیمم نسبی تابع است. این آزمون برای نقاطی که مشتق دوم صفر باشد سکوت می‌کند یعنی در این حالت ممکن است آن نقطه ماکزیمم یا مینیمم یا حتی نقطه عطف تابع باشد.

مثال: به کمک آزمون دوم مشتق، نقاط اکسترمم و نوع آنها را برای تابع $f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7$ بیابید.

حل: ابتدا نقاط بحرانی ( $f'\left( x \right) = 0$ یا مخرج $f'\left( x \right)$ مساوی صفر ) تابع را یافته. سپس با محاسبه $f''\left( x \right)$ در آن نقاط، به کمک آزمون دوم مشتق نوع نقاط اکسترمم را می‌یابیم:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9 = 3\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}$

$f''\left( x \right) = 6x + 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f''\left( { - 3} \right) = - 18 + 6 = - 12\\ f''\left( 1 \right) = 6 + 6 = 12 \end{array} \right.$

پس $x = - 3$ نقطه ماکزیمم نسبی و $x = 1$ نقطه مینیمم نسبی تابع است.

تمرین: به کمک آزمون دوم مشتق، نقاط اکسترمم و نوع آنها را برای تابع $f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} - 36x + 5$ بیابید.

برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:

برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید

امین یارمحمدی

1396-09-21

مشتق و کاربرد آن

امین یارمحمدیAuthor posts

من امین یارمحمدی، فوق لیسانس مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران و رتبه ۷۵ کنکور، جزو معدودی از هم‌دوره‌های خود هستم که برای ادامه تحصیل یا کار مهاجرت نکرده‌ام و تنها دلیل این موضوع، علاقه به آموزش ریاضیات به دانشجویان است. به مدت ۱۴ سال از دوران دانشجویی و حتی در حین دوره سربازی (عصرها بعد از پادگان) تاکنون همواره به امر آموزش اشتغال داشته‌ام و این سایت را برای گسترش آموزش به تعداد بیشتری از دانشجویان حتی در دورترین نقاط ایران ایجاد کرده‌ام.